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Ribera

Un matemático arandino resuelve un problema planteado hace 80 años

diariodeburgos.es - lunes, 6 de diciembre de 2010
Junto con uno de sus alumnos y un investigador húngaro han dado con la solución del "problema de los conjuntos generalizados de Sidon" que era un desafío para los especialistas

Un matemático arandino, Javier Cilleruelo, ha resuelto junto con otro español y un húngaro, un problema de teoría de números planteado hace casi 80 años: el problema de los conjuntos generalizados de Sidon, que a lo largo de estas ocho décadas ha sido un desafío y ha ocupado a algunos de los matemáticos más prestigiosos de la teoría combinatoria.

Cilleruelo, de 48 años, es miembro del departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y del Instituto de Ciencias Matemáticas y es el responsable del grupo de teoría combinatoria de números. Reconoce que este enigma matemático, que asegura que es muy fácil de formular pero ha costado mucho resolver, es «un clásico» que le atraía especialmente y confiesa que venía trabajando desde hace dos décadas. «Era uno de mis favoritos y la verdad es que llevo pensando en él 20 años, aunque por supuesto en muchos más problemas», señala.

En 1932 el matemático húngaro Simon Sidon planteó al entonces estudiante Paul Erdös el siguiente problema: ¿cuál es el mayor tamaño de un conjunto de números, todos ellos menores que una cantidad dada en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto dan resultados distintos?

Un conjunto de números que cumpla esa condición se llama conjunto de Sidon, por ejemplo, 1,2, 5, 10, 16, 23, 33, 35, lo es, mientras que 1, 3, 7, 10 , 17, 23, 28, 35 no lo es porque aparecen sumas repetidas: por ejemplo, 1+23 = 7 +17.

Erdös, uno de los grandes matemáticos del siglo XX y el más prolífico de todos los tiempos, sólo superado por Leonhard Euler, resolvió este problema a mediados del siglo pasado. No así una versión más complicada: ¿cuál es el tamaño máximo de un conjunto de este tipo si se permite que cada suma se repita, como mucho, dos veces? ¿Y tres veces? ¿Y…? Este problema, llamado de los conjuntos generalizados de Sidon, es un clásico de la teoría combinatoria de números, y es el que han resuelto ahora Javier Cilleruelo junto a su alumno Carlos Vinuesa, actualmente en la Universidad de Cambridge, y al húngaro Imre Ruzsa (Instituto de Matemáticas Alfréd Rényi, Budapest).

El artículo donde se describe la solución ha aparecido en una revista de gran prestigio internacional: Advances in Mathematics. El resultado final, por cierto, ha causado cierta sorpresa entre los especialistas; se esperaba que los conjuntos generalizados de Sidon fueran más pequeños de lo que finalmente han resultado ser.

Javier Cilleruelo explica que la clave del éxito ha estado fundamentalmente en la combinación de herramientas de distinta naturaleza: probabilísticas, combinatorias, analíticas y algebraicas.

«Aunque en el pasado hice avances, uno de ellos con este matemático húngaro, no ha sido hasta ahora que ha salido. Hemos introducido ideas nuevas combinando métodos y al final han dado con la solución, aunque el resultado ha sido un auténtico encaje de bolillos en el que se han engarzado muchas piezas distintas», señala, el investigador ribereño indicando que lo más costoso «fue tener la idea de partida».

DOS DÉCADAS. Después de dos décadas pensando en este problema, ahora se declara «muy satisfecho», y dispuesto a enfrentarse a otros problemas. Preguntado sobre si dar con la solución ha sido cuestión de suerte, conocimiento, tiempo o esfuerzo, o una combinación de todos esos parámetros, asegura que lo que menos influye es la suerte. «La mayor parte de nuestras energías las dedicamos a probar caminos que al final no nos conducen a nada. Nuestra labor, la del investigador en matemáticas, está llena de fracasos, de muchos problemas que uno intenta y que al final no consigue resolver. Pero bueno, si uno intenta mucho y trabaja mucho al final va obteniendo cosas. Y este es uno de esos pequeños éxitos», relata.

Aficionado a las matemáticas desde pequeño, «porque aunque era buen estudiante se me daban especialmente bien» considera que para ser un buen investigador hay que trabajar mucho. «No consiste solo en sentarse ahí y a uno le viene la inspiración, la inspiración siempre me pilla trabajando», señala, indicando que no se considera ningún «bicho raro».

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